Il viaggio, fuga mentale

In un periodo in cui non si può uscire di casa per motivi sanitari, abbiamo tutti interessanti metodi per viaggiare e infrangere, almeno con la mente, le mura domestiche. Il ricordo, la lettura e l’immaginazione possono aiutarci a trovare una via di fuga, almeno momentanea.

In questo articolo vi proponiamo alcune mete che possono ispirare viaggi immaginari, sia in luoghi reali sia costruendo mondi impossibili.

Königsberg, i suoi sette ponti e la teoria dei grafi

La città in copertina, oggi Kaliningrad, è stata protagonista di uno dei problemi più interessanti nella storia della matematica, uno dei primi problemi di teoria dei grafi con una soluzione formale.

Ci sono sette ponti che collegano tra di loro le zone principali della città e le due isole. È possibile, facendo una sola passeggiata, attraversarli tutti, passando da ognuno una volta soltanto?

Eulero, nel 1736, ha dimostrato che non è possibile. Praticamente, si può pensare a ogni zona della città come a un nodo di un grafo, e a ogni ponte come un arco tra due nodi. Così facendo, abbiamo quattro punti come in figura.

Chiamiamo grado di un nodo il numero di archi che arrivano in quel nodo. Nell’esempio di Königsberg, i nodi hanno tutti grado dispari. Questo è un dettaglio importante, dato che ha permesso a Eulero di risolvere il problema.

Infatti, Eulero ha dimostrato formalmente che, preso un qualsiasi grafo, esiste una strategia per passare attraverso tutti i nodi una sola volta e tornare all’inizio se e solo se i nodi hanno tutti grado pari o ce ne sono due di grado dispari. In questo caso però si deve partire da uno di questi due nodi.

Quindi, non è possibile fare la passeggiata, perché ci sono più di due nodi di grado dispari. .

Il nastro di Möbius: interno ed esterno sono relativi?

Avete mai provato a prendere una striscia di carta, a girarne un’estremità di mezzo giro e poi a unire le due estremità? I risultati potrebbero sorprendervi. Con questa costruzione, infatti, formerete una superficie dalle proprietà molto particolari: il nastro di Möbius.

Per cominciare, possiamo verificare che il nastro ha un bordo solo: se lo percorriamo tutto col dito, torniamo al punto di partenza. Inoltre, ha una sola faccia.

M. C. Escher, Möbius Strip II, xilografia, 1963

Se si guardano attentamente le formiche, si vede come passino da “sopra” a “sotto” (e viceversa) mentre apparentemente fanno un giro. Normalmente le superfici hanno due facce, un “fuori” e un “dentro”. In matematichese, diciamo che sono orientabili. Quindi il nastro di Möbius fornisce un esempio di superficie non orientabile.

Suggestioni di questo tipo hanno profondamente segnato l’opera di Maurits Cornelius Escher, artista noto per le sue illustrazioni di mondi impossibili e illusioni ottiche.

La bottiglia di Klein: quando tre dimensioni non bastano

Un’altra superficie non orientabile si può ottenere partendo da una bottiglia. Da questa tagliamo il fondo e immaginiamo di estendere il collo in modo da curvarlo su sé stesso e inserirlo lateralmente nella bottiglia, attaccandolo al fondo.

In figura, possiamo vedere che otteniamo un oggetto molto interessante, la bottiglia di Klein. La superficie non si interrompe mai e, quindi, non ha bordi. Inoltre, non possiamo parlare di interno o esterno.

In tre dimensioni, l’operazione di costruzione costringe il collo a perforare necessariamente la parete della bottiglia ma, immaginando una dimensione in più, è possibile evitarlo. Dal punto di vista matematico, si può ottenerla incollando i margini di due nastri di Möbius.

Geometrie non euclidee: se il “piano” si curva?

Tutti noi, ogni giorno, ci muoviamo su una sfera (all’incirca). Ovviamente non vediamo che siamo su una sfera, se la guardiamo da vicino, ma possiamo capire che, continuando ad andare “dritti”, riusciamo a tornare al punto di partenza.

Ma quali sono le linee “dritte” su una superficie? Sono le linee più corte sulla superficie che ci consentono di spostarci tra due punti della superficie. In gergo, le chiamiamo geodetiche. Su una sfera, sono archi di circonferenze di raggio massimo, come ad esempio i meridiani e l’Equatore.

Sulla sfera, posso ovviamente considerare tutte le figure che siamo abituati a gestire sul piano ma… con qualche sorpresa. Per i triangoli, non è più vero che la somma degli angoli interni è 180°, ma anzi è più grande.

Questo mi permette di considerare figure che nel piano sono impossibili, come un triangolo con tre angoli retti. È solo un esempio di come le geometrie non euclidee possano offrire alcuni spunti di esplorazione con strumenti semplici da trovare.

Il viaggio chiama il riposo – un albergo particolare

Vista l’inequivocabile forma del nastro di Möbius, viene spontaneo collegarsi all’infinito in matematica. Uno dei più celebri paradossi dell’infinito riguarda, tra le altre cose, un albergo molto speciale.

L’hotel in questione ha infinite stanze, tutte occupate. Arriva un nuovo ospite: è possibile ospitarlo? E se ne arrivassero infiniti? Sembrerà totalmente da pazzi, ma entrambe le cose sono possibili.
L’idea è che le camere sono infinite, quindi posso ospitare un ospite in più facendo scalare di una stanza quelli già presenti e ne posso ospitare infiniti in più, se sposto tutti nella stanza “doppia” e lascio le dispari per i nuovi arrivati.

Questo esempio è dovuto a Hilbert, uno dei più importanti matematici vissuti tra Ottocento e Novecento, ed è uno dei tanti paradossi sull’infinito. Ne conoscete altri? Se sì, quali sono i vostri preferiti?

Questo articolo è stato scritto da...

Marco Ravenna

Autore

Cresciuto a pane, Disney e sostenitore del motto "Ruolare, sempre, duro!", vengo da quella terra di nessuno al confine tra Liguria e Toscana. Modi sicuri per approcciarmi? Invitarmi a una maratona LOTR (edizione estesa, se ve lo steste chiedendo) con drinking challenge o, molto più semplicemente, parlare di fantasy o di matematica.

Il mio motto è Wit beyond measure is a man's greatest treasure, che normalmente completo con "o pleasure, vedete un po' voi". E no, niente P. Sherman, 42 Wallaby Way, Sydney!