2020: vicini sì, ma non troppo

Finalmente è arrivato gennaio 2021, ma la fine del 2020 non l’ha portato via del tutto. L’anno appena trascorso ha tutt’ora strascichi ed è stato caratterizzato dalla perdita di abitudini che abbiamo sempre dato per scontate. La pandemia da Coronavirus, infatti, ha limitato fortemente tutte le attività economiche, sociali e culturali. Per diminuire i contagi, è stato necessario stare a casa il più possibile, evitare gli assembramenti mantenendo le distanze, igienizzare frequentemente le mani e indossare le mascherine.

Già dal principio, la tecnologia è stata l’innegabile protagonista di un periodo di isolamento e distanziamento sociale. L’uso di applicazioni come Skype, Zoom o Google Meet ha permesso ad amici e parenti di poter stare in contatto, a costo zero e vedendosi in tempo reale.

Ma cosa vogliamo dalla distanza?

In matematica e nelle scienze, chiamiamo distanza una regola che ci permette di partire da una coppia di punti di un insieme e ottenere un numero e che deve soddisfare certe proprietà. Per esempio, vogliamo che il risultato non sia un numero negativo.

Una giustificazione intuitiva di ciò sta nell’idea che ce ne siamo fatti: è un po’ come la misura della lunghezza di un segmento, perciò o gli estremi coincidono (e allora la misura è zero) o gli estremi sono diversi (e il risultato è un numero positivo). Quest’idea sta anche alla base della simmetria: da qualsiasi estremo si parta, la misura è la solita.
Un’altra proprietà che ci aspettiamo è la minimalità. Se aggiungiamo tappe intermedie, di certo non accorciamo il tragitto, specie se usciamo fuori dal tracciato. Questa è la disuguaglianza triangolare: se cerchiamo di formare un triangolo e prendiamo un lato più lungo della somma degli altri due, non riusciamo a chiuderlo.

Sempre più vicini, ma mai a contatto… realtà o fantascienza?

Nell’ambito della geometria che si studia a scuola, ci siamo abituati a muoverci su un piano. Ci sono due assi che individuano una griglia costringendoci a giocare, che lo si voglia o meno, a una partita a battaglia navale in un oceano infinito.

Associando coordinate algebriche alla geometria nuda e cruda, risulta possibile calcolare la distanza di un punto da una figura o tra due figure. Dal punto di vista pratico, possiamo ottenere la distanza tra un punto e una figura visualizzando il punto della figura più vicino al punto da cui guardiamo la distanza.
Questo modo di procedere si estende al caso di due figure, prendendo il valore più grande tra tutte le possibili distanze dei punti di un insieme dall’altro. Per oggetti non limitati, come possono essere una retta e il grafico di una funzione, esiste la possibilità di casi inaspettati.

Può succedere, infatti, che in certe zone del piano i grafici si avvicinino sempre di più, senza mai toccarsi. Questi casi possono coinvolgere anche due curve generiche (e quindi non per forza una curva e una retta, anche se è il caso più comune). Ci si riferisce a queste situazioni come asintoti.

A volte, si parla anche di avere le palle quadrate…

Beh, non è solo un modo di dire. In matematichese, se abbiamo una distanza possiamo parlare di palle con dato centro e raggio per intendere i punti dell’ambiente che hanno distanza tra il centro e un punto della palla più piccola del raggio. Sul piano cartesiano, la forma esatta di una palla non sempre è un cerchio.

Possiamo definire distanza anche la lunghezza di una spezzata. Questo è il caso della distanza misurata da un tassista che si muove in un quartiere dove gli isolati sono formati a scacchiera e conta gli isolati che attraversa. Se il veicolo deve andare a est di 3 isolati e a nord di 4, non può attraversare meno di 7 isolati, per esempio, perché non può attraversarli in obliquo.

Questo tipo di metrica genera delle palle di forma quadrata (anche se il quadrato è girato), un po’ come la distanza della scacchiera. Difatti, se ci si immedesima nel re in una partita a scacchi, possiamo essere interessati al minimo numero di mosse per spostarsi tra due caselle.

Vicinanza: da quando è soltanto matematica?

Si può parlare di distanza (e di vicinanza) anche in altre scienze, come per esempio l’informatica, la fisica e la teoria dell’evoluzione, e anche in ambienti virtuali come internet in generale o i social network. In teoria dei grafi, la distanza tra due nodi si misura contando quanti archi li legano seguendo il percorso più breve.
In informatica, d’altra parte, possiamo dire che più lettere in comune hanno due stringhe, più sono vicine e su questo concetto di vicinanza si basano le funzionalità di controllo ortografico e la teoria dei codici. Un altro caso in cui consideriamo le stringhe lo usiamo in biologia per studiare gli alberi filogenetici e, quindi, l’evoluzione.

Se consideriamo le pagine web come nodi, possiamo contare i link tra di loro, in modo da capire quando una pagina si può collocare più in alto nei risultati delle ricerche. Dalla matematica derivano quindi le tecniche SEO, che studiano come strutturare le pagine per farle salire nei risultati e consultare più spesso.

Causalità, vicinanza o contemporaneità?

Nelle scienze sperimentali, ci interessa che le misurazioni reali siano sufficientemente vicine alle previsioni delle teorie. Ma il concetto più interessante di metrica ci arriva con la teoria dello spazio-tempo di Minkowski. L’ambito di riferimento è quello della teoria della relatività, in cui il tempo non è più assoluto e dipende dal sistema di riferimento. La dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezza ci fanno ben capire come, per parlare di distanza tra due eventi, si debba necessariamente tenere conto sia della componente spaziale che di quella temporale.

La metrica che si usa non definisce una vera e propria distanza, perché non ci dà sempre un valore positivo. Le informazioni che ci fornisce, però, sono più profonde e hanno a che fare con la possibilità di un rapporto causa-effetto. Praticamente, ci possono essere tre possibilità, ma la distinzione non è unanime in letteratura perché dipende dai segni messi nella formula della metrica.
Indipendentemente da questi, lo spazio-tempo è diviso in tre parti, che sono un cono a due falde, il suo interno e il suo esterno. La falda di sopra ha a che fare con il futuro, mentre quella di sotto con il passato. Un osservatore può usare dei segnali – anche luminosi – per “comunicare” con eventi nel proprio cono, mentre gli è impossibile farlo con eventi al di fuori da esso.

Questo articolo è stato scritto da...

Marco Ravenna

Autore

Cresciuto a pane, Disney e sostenitore del motto "Ruolare, sempre, duro!", vengo da quella terra di nessuno al confine tra Liguria e Toscana. Modi sicuri per approcciarmi? Invitarmi a una maratona LOTR (edizione estesa, se ve lo steste chiedendo) con drinking challenge o, molto più semplicemente, parlare di fantasy o di matematica.

Il mio motto è Wit beyond measure is a man's greatest treasure, che normalmente completo con "o pleasure, vedete un po' voi". E no, niente P. Sherman, 42 Wallaby Way, Sydney!