Dio ha creato i numeri interi, tutto il resto è opera dell’uomo
Leopold Kronecker

Da sempre la curiosità ha dominato l’uomo, interessato a capire metodi e motivazioni. Particolarmente evidente nei bambini, con il passaggio all’età adulta questa voglia di scoperta finisce per rimanere un po’ nascosta.

Le stesse ricerche stanno alla base della nascita della matematica. Una materia così apparentemente lontana, in realtà, ha una lunghissima tradizione culturale e un campo di studi talmente vasto che nessuno può affermare di conoscerla tutta.
L’origine della disciplina è profondamente radicata nella storia umana. Infatti, alcuni artefatti risalenti alla preistoria danno conto di tecniche di misurazione del tempo tramite l’osservazione di corpi celesti, di metodi di conteggio di capi di bestiame e di comunicazione anche con rudimentali nozioni geometriche.

La matematica è cultura…

Con il passare del tempo, si sono evolute anche le conoscenze di alcuni popoli, in grado di produrre testimonianze scritte. I testi più antichi provengono dall’India, dalla Mesopotamia e dall’antico.

Gli Egizi erano a conoscenza di risultati geometrici e aritmetici abbastanza moderni, ma espressi in un linguaggio quasi del tutto privo di simboli algebrici. I testi babilonesi si sono conservati meglio e rivelano una dimestichezza ancora maggiore di quella degli egizi.
Negli scritti indiani, invece, si può vedere la nascita di una concezione della matematica non legata alle esigenze pratiche. La stessa cosa si può notare nelle opere in greco. Personaggi come Pitagora e Talete hanno dato vita a una lunga tradizione.

un frammento di matematica indiana

…e il suo filo rosso è molto lungo

Infatti, la matematica greca si distingue da quella delle civiltà precedenti perché è la prima a fare largo uso di un sistema assiomatico-deduttivo. I greci sono i primi a elencare gli assiomi da cui partire per trarre delle conseguenze e dedurre i teoremi.
Questo metodo è ancora oggi la base della matematica. Tra l’altro, era un modo di procedere largamente favorito dalla democrazia, di cui i Greci erano maestri. Per parlare bene, era necessario saper ragionare in modo deduttivo.

Spesso, d’altra parte, i matematici di quest’epoca erano anche eminenti filosofi, fautori di una cultura a tutto tondo. Purtroppo, i Romani non reputavano la cultura altrettanto importante.

È un filo che avvolge tutto il mondo…

Per fortuna, la ricerca è continuata nel resto del mondo. Numerose testimonianze ci informano dei progressi dei Maya e degli Incas, per i quali, però, la matematica rappresentava solo uno strumento per gli studi astronomici.
Per il resto del tempo, una buona parte delle scoperte avvengono in Asia, grazie ai cinesi, agli arabi, ai persiani e agli indiani. A questi popoli si devono risultati molto attuali su più settori. Basta solo pensare che agli indiani dobbiamo il sistema decimale e lo zero, mentre gli arabi ci hanno donato le cifre.

Grazie ai commerci con gli arabi siamo venuti a conoscenza di molte opere greche e dell’algebra. Questa però era destinata a entrare presto in un vicolo cieco a causa dell’equazione di terzo grado.

gli arabi e la matematica

…per dipanare la matassa

Il Cinquecento segna la fine di una vecchia matematica fatta di formule e tecnicismi, anche se la (tanto temuta) x non aveva fatto ancora la sua comparsa. Nei testi di quest’epoca, difatti, l’algebra era retorica: l’incognita era la cosa, il quadrato il censo e così via...

Agli inizi del Cinquecento, Scipione dal Ferro e Niccolò Tartaglia scoprirono la formula risolutiva, in modo indipendente. Purtroppo, tale formula non dava sempre soluzioni trattabili, specie in casi dove le soluzioni si potevano ricavare con altri metodi. Questo problema ha portato Rafael Bombelli a scoprire i numeri complessi.

Inoltre, in questo periodo lavorò anche François Viète, che per primo utilizzò le lettere per indicare sia i coefficienti che le incognite. Questo portò, insieme all’uso dei segni, a un livello di formalismo superiore, favorendo l’avvicinarsi della matematica moderna.

In artem analyticam Isagoge, l’opera chiave

La trama del filo rosso si infittisce

Grazie a questo nuovo formalismo, l’entrata in scena della geometria analitica era soltanto questione di tempo. Con René Descartes, infatti, una curva era definita come l’insieme delle soluzioni di un’equazione in due (o più) incognite. Quindi alla geometria, Cartesio affiancava l’algebra.

Strumenti di questo genere hanno aperto la porta all’analisi, cui i matematici del Seicento e del Settecento hanno riservato grande attenzione. La disputa tra Newton e Leibniz, sulla paternità del calcolo infinitesimale è solo uno degli esempi dell’interesse che questo campo destava nella comunità.

Tuttavia, i progressi interessarono anche altri settori, come la teoria dei numeri. Uno dei più prolifici di questo settore è stato Fermat, passato alla storia soprattutto per il suo ultimo teorema, che è rimasto senza dimostrazione per ben 357 anni ed è stato provato da Andrew Wiles con metodi di matematica sconosciuti a Fermat.

Un solo filo per tanti settori

Infatti, nacquero settori come la topologia e la teoria dei grafi, che, in caso vogliate farvi un giro senza muoversi da casa, vi porterà a spasso per la vecchiaKaliningrad. Nel corso dell’Ottocento, poi, quasi tutti i campi di studio hanno avuto un impulso fortissimo.

Per esempio, durante l’Ottocento, Abel e Galois hanno dimostrato che, per equazioni in cui compare x5 (o potenze superiori), non esistono formule risolutive generali, un duro colpo per la tradizione abachistica che ha scoperto la formula per quelle di terzo grado.

Tuttavia, le scoperte non interessarono soltanto l’algebra, ma anche l’analisi e la teoria dei numeri. L’innovazione più grande interessò la geometria, in quanto il rinnovato interesse verso i fondamenti ha portato Riemann e Lobachevsky a dare vita a nuove geometrie in cui il parallelismo non è quello inteso da noi.

Ma un approccio più filosofico?

Nel corso dell’Ottocento, nella comunità matematica si manifestò un forte interesse a lavorare su oggetti ben definiti. I primi a dover essere definiti su basi logiche erano appunto i numeri reali e, quindi, a catena tutti gli altri – cioè i razionali, gli interi e i naturali.

L’ispirazione per questo lavoro venne dai Fondamenti della Geometria di David Hilbert. Nella sua opera, infatti, il matematico tedesco dà un’assiomatizzazione completa e rigorosa anche alla geometria, superando di gran lunga la tradizione di Euclide.
Il desiderio era ricondurre tutta la matematica alla logica, visto il grande impulso a essa e alla teoria degli insiemi dovuto all’invenzione dell’algebra astratta come studio delle strutture. Infatti, con l’algebra astratta era possibile studiare universi dove, scambiando l’ordine dei fattori, il risultato cambia.

Resta ancora molto da tessere…

Con l’invenzione del calcolatore, Alan Turing e John Von Neumann aprirono la strada a una nuova era della matematica. È il periodo delle innovazioni, delle strategie di ottimizzazione. L’uso massiccio del computer regala una potenza di calcolo mai vista prima e consente di costruire modelli più complessi.

A questo punto, rimangono aperte alcune domande fondamentali, legate al senso della disciplina e agli oggetti. Qual è il significato della matematica? Che natura hanno gli oggetti e le verità matematiche? L’uomo scopre o inventa la matematica?
Queste domande sono alla base della filosofia della matematica, che ha visto la sua alba nel Novecento ed è ancora molto attuale, in quanto capire bene le risposte potrebbe consentire di migliorare la didattica e la divulgazione della matematica.

 

Questo articolo è stato scritto da...

Marco Ravenna

Autore

Cresciuto a pane, Disney e sostenitore del motto "Ruolare, sempre, duro!", vengo da quella terra di nessuno al confine tra Liguria e Toscana. Modi sicuri per approcciarmi? Invitarmi a una maratona LOTR (edizione estesa, se ve lo steste chiedendo) con drinking challenge o, molto più semplicemente, parlare di fantasy o di matematica.

Il mio motto è Wit beyond measure is a man's greatest treasure, che normalmente completo con "o pleasure, vedete un po' voi". E no, niente P. Sherman, 42 Wallaby Way, Sydney!